tag:blogger.com,1999:blog-9043871272554960992.post6559886948183419277..comments2024-03-28T13:05:52.534+01:00Comments on Pedagogicke.info: Eduard Fuchs: Reakce na rozbor maturitní úlohy od Oldřicha BotlíkaJanek Wagnerhttp://www.blogger.com/profile/06137806439637479552noreply@blogger.comBlogger26125tag:blogger.com,1999:blog-9043871272554960992.post-12049472615813773572019-05-20T15:05:10.929+02:002019-05-20T15:05:10.929+02:00Zatím jsme si ujasnili, že "různý" může ...Zatím jsme si ujasnili, že "různý" může v matematice zcela běžně znamenat i "různě velký". Teď už jde jen o to, zda určitý výklad slova "různý" v kontextu dané úlohy není jen další čepičkou se dnem. Josef Soukalhttps://www.blogger.com/profile/18136412555012499239noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-9043871272554960992.post-75222927424103517652019-05-20T06:10:07.751+02:002019-05-20T06:10:07.751+02:00Martin Mikuláš prý na Facebooku napsal: Pan doc. F...Martin Mikuláš prý na Facebooku napsal: <i>Pan doc. Fuchs má pravdu. Pojem školská matematika existuje a má dokonce svůj slovník definitoricky vymezených pojmů (což v matematice ani jinak fungovat nemůže). Pojmy školské matematiky vymezila a definovala Terminologická komise pro školskou matematiku JČMF. Pojmem úhel se rozumí nejen objekt ale současně s ním i jeho velikost a orientace (všechny tyto aspekty tvoří sémem pojmu úhel). </i><br /><br />Docent Fuchs napsal na EDUinu mimo jiné, že žáci nemohli být zadáním úlohy 11 uvedeni v omyl, protože termín „úhel“ má <b>dva významy</b> [zvýraznění OB].<br /><br />Kolega Mikuláš se tedy podle uvedeného citátu domnívá, že žáci nemohli být zadáním úlohy 11 uvedeni v omyl, protože termín „úhel“ má <b>tři významy</b> [zvýraznění OB].<br /><br /><b>S úvahami, že zadání úlohy 11 je tím jednoznačnější, čím více významů termín „úhel“ má, opravdu, ale opravdu nesouhlasím. </b>Oldřich Botlíkhttps://www.blogger.com/profile/03139843890760657798noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-9043871272554960992.post-85312753501887436652019-05-19T18:57:16.260+02:002019-05-19T18:57:16.260+02:00Tupý úhel jsem uváděl jako příklad.
-
K Vašemu sou...Tupý úhel jsem uváděl jako příklad.<br />-<br />K Vašemu souhlasu - jde o kontext.<br />-<br />Se závěrem Vašeho komentáře nelze nesouhlasit.<br />Josef Soukalhttps://www.blogger.com/profile/06884548790496769687noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-9043871272554960992.post-42387936254536184782019-05-19T11:15:55.726+02:002019-05-19T11:15:55.726+02:00Jenom z toho, že velikost úhlu je (90+α), nutně ne...Jenom z toho, že velikost úhlu je (90+α), nutně nevyplývá, že je to úhel tupý. Alfa může mít velikost třeba 0°. Nebo -45°. Nebo 120°. Hovoříme o úhlech - podmnožinách roviny nebo o úhlech orientovaných?<br /><br />Prostě souhlasím s tím, že dva různé úhly můžou mít stejnou velikost. A tedy stejný kosinus. <br /><br />Ale všechny diskuse na dané téma by byly podstatně jednodušší a kratší, kdyby Cermat zveřejnil, jaké varianty odpovědí byly maturanty uvedeny a jak je Cermat ohodnotil. Ani není nutno uvádět počty jednotlivých variant odpovědí.Vít Tomis https://www.blogger.com/profile/03486437861905088094noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-9043871272554960992.post-44147718766256635692019-05-19T10:56:30.338+02:002019-05-19T10:56:30.338+02:00A opravdu v daném případě není význam vzhledem ke ...A opravdu v daném případě není význam vzhledem ke kontextu samozřejmý? Copak maturitní úlohy ověřují schopnost žáka rozpoznat, že číslo 112 leží mezi nulou a číslem 360, nebo to, zda ví, že mohou existovat různé úhly stejné velikosti? Vy byste třeba v níže uvedeném případě toleroval jako správnou odpověď ÚHEL TUPÝ?<br /><br />"Výpočet<br />Nejprve musíme určit úhel SPK. Jeho velikost je (90+α)."<br />Josef Soukalhttps://www.blogger.com/profile/06884548790496769687noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-9043871272554960992.post-51838637466568132782019-05-19T08:55:58.165+02:002019-05-19T08:55:58.165+02:00Pojmem úhel se rozumí nejen objekt ale současně s ...<i>Pojmem úhel se rozumí nejen objekt ale současně s ním i jeho velikost a orientace (všechny tyto aspekty tvoří sémem pojmu úhel). </i><br />NO PRÁVĚ!!! Pokud pojem úhel má tři "významy", MUSÍ být zadání napsáno tak, aby marurant věděl, zda pracuje s úhlem nebo jeho velikostí.Vít Tomis https://www.blogger.com/profile/03486437861905088094noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-9043871272554960992.post-39793172364835322012019-05-19T08:45:48.810+02:002019-05-19T08:45:48.810+02:00Z FB:
Martin Mikuláš Pan doc. Fuchs má pravdu. Po...Z FB: <br />Martin Mikuláš Pan doc. Fuchs má pravdu. Pojem školská matematika existuje a má dokonce svůj slovník definitoricky vymezených pojmů (což v matematice ani jinak fungovat nemůže). Pojmy školské matematiky vymezila a definovala Terminologická komise pro školskou matematiku JČMF. Pojmem úhel se rozumí nejen objekt ale současně s ním i jeho velikost a orientace (všechny tyto aspekty tvoří sémem pojmu úhel). Stejně se pojem "angle" užívá i v anglosaské tradici. Kolegovi Botlíkovi doporučuji dostudovat příslušnou ISO normu, Názvy a značky školské matematiky a docházet na přednášky kurzu sémantiky.Josef Soukalhttps://www.blogger.com/profile/06884548790496769687noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-9043871272554960992.post-8253545683552759432019-05-18T20:39:10.031+02:002019-05-18T20:39:10.031+02:00jsem předpokládal, že většina čtenářů rozpozná, ja...<i>jsem předpokládal, že většina čtenářů rozpozná, jak je váš komentář hloupý</i><br /><br />Což o to.<br />Podstatné je, aby alespoň někdo rozpoznal, jak až moc jsou botlikovic komentáře kultivované.Nicka Pytlikhttps://www.blogger.com/profile/14309630223175640571noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-9043871272554960992.post-45423523106804073622019-05-18T14:50:48.271+02:002019-05-18T14:50:48.271+02:00Z České školy:
Petr řekl(a)...
Po přečtení zadání...Z České školy:<br /><br />Petr řekl(a)...<br />Po přečtení zadání a zdejší diskuze bych se přikláněl k následujícímu:<br /><br />1) z kontextu úlohy je jasné, že mám hledat VELIKOST úhlu. Pokud by alfa = beta; pak v následujícím by ze zadané podmínky cos(alfa)=cos(beta) => cos(alfa)=cos(alfa) což platí vždy. Proto by asi nemělo smysl uvažovat o úhlu 112 stupňů.<br />2) vzhledem k tomu, že v zadání nebylo explicitně napsáno, že beta je různý od alfa, uznal bych za jeden bod nejen výsledek 248 stupňů, ale i výsledek 112 a 248 stupňů. Pokud by někdo napsal jen 112 stupňů, bod bych mu nedal.<br /><br />PetrK<br /><br />17. května 2019 10:58<br /><br />https://www.blogger.com/comment.g?blogID=9210966517210062357&postID=8471564545279139011<br /><br />Josef Soukalhttps://www.blogger.com/profile/06884548790496769687noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-9043871272554960992.post-35543532468360426732019-05-18T14:02:23.043+02:002019-05-18T14:02:23.043+02:00A když to vezmu z hlediska jazyka: mají-li žáci vě...<i>A když to vezmu z hlediska jazyka: mají-li žáci vědět, že kosinus je stejný pro dva <b>různě</b> velké úhly, přitom velikost jednoho z nich je zadána a otázka se ptá na ten druhý, je nesmysl uvádět úhel <b>stejné</b> velikosti.</i> <br /><br /><b>Ygrain,</b> <br /><br />měla byste to holt brát z hlediska matematiky, jejíž jazyk je, jak snad uznáte, přesnější než čeština. A přečíst si aspoň na jednom či dvou místech totéž, co nyní budu vysvětlovat už asi třetím nebo čtvrtým způsobem.<br /><br />Zadána byla mj. velikost úhlu <i>α</i> a informace, že úhel <i>β</i> je od něho různý (což je něco jiného, než že má jinou velikost). Žáci měli uvést <b>velikost</b> úhlu <i>β</i>. Takové velikosti nepochybně existují dvě: 112°a 248°.<br /><br />Původně jsem předpokládal, že většina čtenářů rozpozná, jak je váš komentář hloupý, a zdálo se mi zbytečné na něj reagovat. Bohužel se ukazuje, že někteří zdejší čtenáři to nepoznali. Mohl jsem si toho být vědom od začátku a reagovat dříve...Oldřich Botlíkhttps://www.blogger.com/profile/03139843890760657798noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-9043871272554960992.post-74210119414763899682019-05-16T21:21:16.456+02:002019-05-16T21:21:16.456+02:00"Učitelé matematiky na celém světě učí své žá..."Učitelé matematiky na celém světě učí své žáky, že v uzavřeném intervalu 0º až 360º existují pro každou hodnotu z intervalu (–1; 1> dva různě velké úhly, jejichž kosinus této hodnoty nabývá. Žákům, kteří napsali do svého záznamového archu také hodnotu 112º, se proto nelze divit ani z tohoto důvodu: byli ve škole k takové odpovědi vedeni a Cermat výsledek 112º nevyloučil "<br /><br />Pro<br /><br />α=112°<br />cosα=cosβ<br />β=?°<br /><br />přece podle vaší vlastní definice automaticky platí, že α=/=β, takže tuto podmínku není nutné uvádět, stejně jako nepovažujeme za nutné uvádět, že nedělíme nulou nebo že druhá odmocnina záporného čísla nemá řešení v oboru reálných čísel.<br /><br />A když to vezmu z hlediska jazyka: mají-li žáci vědět, že kosinus je stejný pro dva <b>různě</b> velké úhly, přitom velikost jednoho z nich je zadána a otázka se ptá na ten druhý, je nesmysl uvádět úhel <b>stejné</b> velikosti. Žákům, kteří uvedli jako odpověď 112°, by měl být stržen 1 bod v DT z češtiny za porozumění textu.<br /><br />Argumentace trojúhelníky, lichoběžníky atd., které se v úloze nevyskytují, mi dost připomíná žáky zuřivě se pídící po tom jednom bodu, který je dělí od lepší známky, kteří vymýšlejí všechny možné krkolomné hypotetické situace, ve kterých by jejich odpověď teoreticky mohla být možná, nicméně kontext zadané úlohy žádnou z nich neumožňuje.Ygrainhttps://www.blogger.com/profile/08490497723105830183noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-9043871272554960992.post-54678486870941371712019-05-16T19:08:58.221+02:002019-05-16T19:08:58.221+02:00Přidávám i zde:
Pavel Doležel:
S argumentací pana...Přidávám i zde:<br />Pavel Doležel: <br />S argumentací pana Botlíka souhlasím, ale nesouhlasím s jeho interpretací.<br /><br />1) Není pravda, že to nutně je chyba v zadání. Já to považuji spíše za chybu v hodnocení. Zadání je jasné a uznávané řešení mu odpovídá. Jen mu odpovídá ještě jedno další možné a nabízené řešení.<br /><br />2) Nesouhlasím s tím, že ten, kdo uvedl 112° jako řešení, tak činil s vědomím přesné definice úhlu. Určitě při existenci volby 248° tam nikdo nedal 112° proto, že by chtěl riskovat - když je zcela zřejmé, co měl autor úlohy na mysli - byť to nedokázal přesně převést na papír. Kdybych takovou úlohu dostal já, pochopil bych, že se jedná o mírnou nepřesnost ve vyjadřování, která je na SŠ celkem běžná (a mimochodem, takových a i mnohem horších nepřesností jsem viděl snad v každém přijímacím testu na VŠ, který jsem viděl) a volil bych uznávanou odpověď. Přidávat tedy body těm, kteří tam zkusmo dali 112° není ve skutečnosti oprava ve prospěch těch, kteří matematiku ovládají, ale spíše ve prospěch těch, kteří jsou úplně mimo<br /><br /><br />https://www.blogger.com/comment.g?blogID=9210966517210062357&postID=2439399373320374041Josef Soukalhttps://www.blogger.com/profile/06884548790496769687noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-9043871272554960992.post-55831548422966619972019-05-16T18:44:00.784+02:002019-05-16T18:44:00.784+02:00A jak velké je napětí v zásuvce?<br /><b>A jak velké je napětí v zásuvce?</b>Nicka Pytlikhttps://www.blogger.com/profile/14309630223175640571noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-9043871272554960992.post-50287385634780696982019-05-16T15:25:00.164+02:002019-05-16T15:25:00.164+02:00Matematika je údajně exaktní věda a státní maturit...Matematika je údajně exaktní věda a státní maturity připravují údajně odborníci mj. proto, aby byla úroveň. Viděl jsem bezpočet chybných zadání a otázek, za všechny typické "a jaké řeky se vlévají do Vltavy, Franto?". Správná odpověď "studené, mělké, zlatonosné a plné ryb" kupodivu nebývala uznána, protože "to jsem ale nechtěl slyšet" a "Frantovi mělo být přece jasné, že se ptám na Sázavu!" To se přece rozumí samo sebou, jinými slovy "to je běžná školská terminologie" a ať si s tím žák poradí. A kdo na to poukáže, je hnidopich, dělá důležitého a vůbec je to blbec. Důležitější je, že maturity přispívají ke zvyšování HDP a blahobytu - víte, co se dnes prodalo chlebíčků? Zdeněk Běleckýhttps://www.blogger.com/profile/04674494846286607239noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-9043871272554960992.post-86091342472823725652019-05-16T15:04:07.446+02:002019-05-16T15:04:07.446+02:00Argumentování "praxí" bývá ošidné.
Učit...Argumentování "praxí" bývá ošidné.<br /><br />Učitelé matematiky na celém světě učí své žáky, že v uzavřeném intervalu 0º až 360º existují pro každou hodnotu z intervalu (–1; 1> <b>dva různě velké úhly</b>, jejichž kosinus této hodnoty nabývá. Žákům, kteří napsali do svého záznamového archu také hodnotu 112º, se proto nelze divit ani z tohoto důvodu: byli ve škole k takové odpovědi vedeni a Cermat výsledek 112º nevyloučil – minimálně z jejich pohledu určitě. Tím více se divím, jak si může být E. Fuchs jist tím, že zadání nikoho nezmátlo.<br /><br />Mě na problém s úlohou 11 upozornil jeden maturant, který za krkolomným zadáním viděl právě chyták Cermatu připravený s cílem odvést pozornost maturantů od druhého řešení 112°. Na jednotkové kružnici je jasně viděl, byl přesvědčen, že je správné, ale očekával od Cermatu podraz. <br /><br />Někdo jiný může zase podraz vidět naopak v tom, že Cermat chtěl nachytat žáky, kteří uvedou obě hodnoty. Jenomže pokud za formulací zadání takový záměr byl, nepodařilo se ho realizovat správně.Oldřich Botlíkhttps://www.blogger.com/profile/03139843890760657798noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-9043871272554960992.post-59480447909294471022019-05-16T14:50:35.262+02:002019-05-16T14:50:35.262+02:00ad mirek vaněk
Pokud pan Botlík trvá na tom, že d...<b>ad mirek vaněk</b><br /><br /><i>Pokud pan Botlík trvá na tom, že dva různé úhly musí být striktně chápány jako různé objekty, dosáhne odečtení jednoho bodu těm maturantům, kteří neuvedli oba úhly.</i><br /><br />Sice na tom trvám, musím ale připomenout praxi, která je v testování běžná. V podobně sporných případech bývá úloha vypuštěna z hodnocení a způsobem odpovídajícím její bodové dotaci se sníží jak práh pro úspěšné složení zkoušky, tak hranice intervalů definujících způsob převodu dosaženého výsledku na známku. Pokud vím, Cermat takový krok nikdy neučinil. Málokdy chybu (a chybou je i nejednoznačné zadání) přizná, a když už ji přizná, většinou udělí body také za další výsledky. Mně se ten způsob nelíbí, protože si myslím, že přidělování bodů za nesprávnou odpověď snižuje prestiž zkoušky, nic s tím ale nenadělám. Proto jsem navrhl, aby 1 bod dostali jak žáci, kteří odpověděli pouze 112°, tak žáci, kteří odpověděli 112°a 248°.<br /><br />Zdá se mi ale přinejmenším podivné, aby o podobě "pravdy" (tj. o podobně definitivního oficiálního správného řešení úlohy) nakonec rozhodla třeba nechuť připravit příliš mnoho žáků o bod.Oldřich Botlíkhttps://www.blogger.com/profile/03139843890760657798noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-9043871272554960992.post-61732834438208836062019-05-16T13:32:46.665+02:002019-05-16T13:32:46.665+02:00K použití slova úhel, několik kliknutí:
"V tr...K použití slova úhel, několik kliknutí:<br />"V trojúhelníku má jeden vnější úhel velikost 56°30' a jeden vnitřní úhel 46°24'. Vypočítejte ostatní vnitřní úhly trojúhelníku."<br /><br />"Najděte chybějící úhel x a vnitřní úhly v trojúhelníku a pak název trojúhelníku. Úhly jsou: 95, 2x + 15, x + 3"<br /><br />"Výpočet<br />Nejprve musíme určit úhel SPK. Jeho velikost je (90+α)."Josef Soukalhttps://www.blogger.com/profile/18136412555012499239noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-9043871272554960992.post-57289788503472909132019-05-16T12:32:16.464+02:002019-05-16T12:32:16.464+02:00V úloze se nemluvilo o trojúhelníku, s úlohou neby...V úloze se nemluvilo o trojúhelníku, s úlohou nebyl spojen obrázek, úloha byla zadána zcela srozumitelně. Hledáme-li tam něco jiného, řešíme jinou úlohu.krtekhttps://www.blogger.com/profile/10740897840207095116noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-9043871272554960992.post-28000341752842261552019-05-16T08:23:20.587+02:002019-05-16T08:23:20.587+02:00I když připustíme argument pana Botlíka, pak řešen...I když připustíme argument pana Botlíka, pak řešením jsou dva úhly, tedy 112° a 248°. Takže úhel 248° je řešením v každém případě. Pokud budeme tolerovat(jak je v běžné praxi zvykem), že pod pojmem jiný úhel můžeme myslet jinou velikost úhlu, pak je možné uznat jen odpověď 248°. Pokud pan Botlík trvá na tom, že dva různé úhly musí být striktně chápány jako různé objekty, dosáhne odečtení jednoho bodu těm maturantům, kteří neuvedli oba úhly.mirek vaněkhttps://www.blogger.com/profile/14406382210048912118noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-9043871272554960992.post-32421361501231813452019-05-16T05:48:04.248+02:002019-05-16T05:48:04.248+02:00ad krtek
Pokud tomu dobře rozumím, pan Botlík pov...<b>ad krtek</b><br /><br /><i>Pokud tomu dobře rozumím, pan Botlík považuje dva různé úhly alfa o velikosti 112 a beta o stejné velikosti za různé. No já nevím. </i><br /><br />Pane Votrubo, a za jaké považujete <i>dva <b>různé</b> úhly alfa o velikosti 112 a beta o stejné velikosti</i> vy?<br /><br />Abych dal velmi jednoduchý příklad, ponechám na chvíli stranou velikost 112º. Předpokládám, že jste se jako učitel matematiky už někdy setkal s rovnoramenným trojúhelníkem <i>ABC</i>, který má při základně <i>AB</i> úhly <i>α</i>, <i>β</i>. Úhly <i>α</i>, <i>β</i> jsou nepochybně <b>různé</b> (neboť leží každý u jiného vrcholu), ale mají <b>stejnou velikost</b>. <br /><br />Z pochopitelných důvodů není v rovnoramenném trojúhelníku možné, aby platilo, že oba úhly <i>α</i>, <i>β</i> mají velikost 112º. Nicméně například v rovnoramenném lichoběžníku už to možné je. A v obecném mnohoúhelníku (není-li konvexní) je dokonce možné, aby velikost úhlu <i>α</i> byla 112º a velikost úhlu <i>β</i> byla 248º. I potom budou úhly <i>α</i>, <i>β</i> <b>různé</b>, ale navíc budou mít také různou velikost.<br /><br />Myslím, že když členovi Nezávislé odborné komisi MŠMT pro posouzení maturitního testu z matematiky Eduardu Fuchsovi nevadilo, že si maturanti měli za geometrickou posloupností představit sloup v Kocourkově vysoký 350 kilometrů, nemělo by mu vadit ani to, že si při řešení úlohy 11 někteří maturanti představovali velmi přízemní, jednoznačně definované geometrické objekty. <br /><br /><b>Nebo snad chtěl doc. Eduard Fuchs, CSc., z Ústavu matematiky a statistiky Přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity v Brně, popřít existenci lichoběžníku, který má u dvou různých vrcholů úhly o velikosti 112º?</b>Oldřich Botlíkhttps://www.blogger.com/profile/03139843890760657798noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-9043871272554960992.post-343226906680022802019-05-16T05:21:13.370+02:002019-05-16T05:21:13.370+02:00Soucet vnitrmich uhlu v trojuhelniku je 3.
Soucet...Soucet vnitrmich uhlu v trojuhelniku je 3.<br /><br />Soucet velikosti vnitrnich uhlu trojuhelniku je 180° (v Euklidovske rovine)Vít Tomis https://www.blogger.com/profile/03486437861905088094noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-9043871272554960992.post-14546326921762951302019-05-16T03:45:27.373+02:002019-05-16T03:45:27.373+02:00Ten náčrtek nebyl součástí zadání… Nevím, jestli j...Ten náčrtek nebyl součástí zadání… Nevím, jestli je nutné ho přikládat i k reakci pana Fuchse.<br /><br />Pane Pešate, je dovoleno použít spojení "sinus úhlu alfa"? Co je sinus části roviny?Jiri Janecekhttps://www.blogger.com/profile/04166372698220355589noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-9043871272554960992.post-1546213856037649142019-05-15T23:32:59.508+02:002019-05-15T23:32:59.508+02:00To je právě průšvih té školské terminologie. Stude...To je právě průšvih té školské terminologie. Studenti běžně nerozlišují také např. vektory, u kterých si mysli, že maji jenom velikost... Pavel PEŠAThttps://www.blogger.com/profile/09435826696970924245noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-9043871272554960992.post-84594530297201577222019-05-15T23:07:04.167+02:002019-05-15T23:07:04.167+02:00Pane Botlíku, měl byste se nad sebou zamyslet, pro...Pane Botlíku, měl byste se nad sebou zamyslet, protože tentokrát Vám trvalo strašně dlouho než jste tu kýženou chybu v testu objevil. Jestli Vy jste se zbytečně nezdržel tou Kocourkovskou věží a blbnutím kolem geometrických posloupností. Už jsem si vážně začínala myslet, že si té chyby nevšimnete.<br /><br />Pana Fuchse se musím trošku zastat, vývoj učebnic vede ke zjednodušování terminologie, expertem je v této oblasti zejména Hejný, kterého mnozí v poslední době doslova zbožštili, no a toto jsou potom ty konce.Eva Adamováhttps://www.blogger.com/profile/06202493231520583423noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-9043871272554960992.post-20718061935396895902019-05-15T22:59:46.782+02:002019-05-15T22:59:46.782+02:00Pokud tomu dobře rozumím, pan Botlik považuje dva ...Pokud tomu dobře rozumím, pan Botlik považuje dva různé úhly alfa o velikosti 112 a beta o stejné velikosti za různé. No já nevím. krtekhttps://www.blogger.com/profile/10740897840207095116noreply@blogger.com