16.5.19

Luděk Šnirch: Jak se z matematiky rozhodnutím Cermatu k úloze 11 ztratily rovnoramenné trojúhelníky

Autor reaguje na výroky člena Nezávislé odborné komise MŠMT Eduarda Fuchse, z reakce vybíráme: "Pokud v matematice, exaktní vědě, může jeden pojem znamenat cokoliv, i když jsou definované dva pojmy, úhel a velikost úhlu, a pokud na tomto principu vzniká státní maturita, je na tom matematika ještě hůře, než se ví."

„Slovo „úhel“ ve standardní školské terminologii má nejen význam, který uvádí O. Botlík ve svém textu, ale běžně značí i „velikost úhlu“ apod. Analogická situace je ve školské matematice zcela běžná i v případě jiných pojmů.
Ze zadání úlohy je zcela zřejmé, že žáci hledají velikost jiného úhlu a nemohli být zadáním úlohy uvedeni v omyl.“

Doc. RNDr. Eduard Fuchs, CSc. (zdroj)

Pokud v matematice, exaktní vědě, může jeden pojem znamenat cokoliv, i když jsou definované dva pojmy, úhel a velikost úhlu, a pokud na tomto principu vzniká státní maturita, je na tom matematika ještě hůře, než se ví.

„Ze zadání úlohy je zcela zřejmé, že žáci hledají velikost jiného úhlu a nemohli být zadáním úlohy uvedeni v omyl.“

Jak je uvedeno, studenti neměli hledat jinou velikost jiného úhlu, ale jen velikost jiného úhlu. Například rovnoramenný trojúhelník má dva různé úhly o stejné velikosti.

Velikost jiného úhlu v úloze 11 může být taky 112° a tedy je řešením i velikost 112°, nejen 248°.

Cermat řešením úlohy 11 zatím popírá existenci rovnoramenných trojúhelníků (a nejen jich). Změní názor a napraví nezpochybnitelně chybné řešení úlohy 11?

Poznámka redakce: Situaci jsme komentovali u textu Eduarda Fuchse.

7 komentářů:

Jiri Janecek řekl(a)...

No, zeptám se asi počtvrté na to samé - kolik je sin(alpha) pro ten obrázek, co provází každý díl seriálu o úloze 11 (byť nebyl součástí zadání)?

Neztrácí se náhodou z matematiky i funkce sinus?

---

Nestálo by za to, vrátit tu první úroveň goniometrie do RVP ZŠ? (sin, cos, tg ostrých úhlů)

Pokud má vzdělanec pro 21. století k něčemu být, mohl by mít ánung o vlnění - tj. periodických funkcích reálného argumentu. Přijít k tomuto "na první dobrou" třeba ve třetím ročníku elektroprůmyslovky mi přijde dost těžké.


Oldřich Botlík řekl(a)...

Pane Janečku,

já nevím, proč pan Wagner zvolil jako doprovod seriálu o úloze 11 obrázek, který jsem neuměle nakreslil. Možná proto, aby čtenářům PI usnadnil nalezení míst, na nichž různí komentátoři leccos vysvětlují. Aby se ti čtenáři nemuseli ptát už asi počtvrté na to samé...

Úhly α, β na obrázku jsou různé úhly, jejichž velikosti jsou stejné. Protože jsou jejich velikosti stejné, jsou stejné i hodnoty sin α, sin β. Funkce sinus (tj. sin) je definována jako funkce, jejímž definičním oborem jsou všechna reálná čísla. Například ze zápisu sin α = 0,5 je proto zcela zřejmé, že proměnná α v něm vystupuje jako reálné číslo. Jako velikost úhlu α. Ze spojení "α, β jsou různé úhly" to bohužel jednoznačně zřejmé není, což ilustruje právě obrázek, který jste zmínil.

Ilustruje to také příklad rovnoramenného trojúhelníku ABC se základnou AB, kterým argumentuje pan Šnirch. V něm jsou α, β různé úhly, jejichž velikosti jsou stejné, a tudíž jsou stejné i hodnoty sin α, sin β.

Rovnoramenný trojúhelník nemůže mít dva úhly takové, aby jejich velikost byla 112° – já sám jsem proto raději argumentoval rovnoramenným lichoběžníkem. Moji argumentaci naleznete v diskusi pod upoutávkou na text E. Fuchse, kterou pan Wagner doprovodil stejným barevným obrázkem. Je tam v mém druhém příspěvku nadepsaném ad krtek.

V čem tedy spočívá problém zadání úlohy 11?

Spojení "dva různé úhly" má v matematice i v maturitním katalogu požadavků jasný význam – jde o dvě různé části roviny. Rovnost cos α = cos β má v matematice i v maturitním katalogu požadavků také jasný význam – kosiny velikostí obou úhlů se rovnají.

Užití obou výrazů s jednoznačným významem v jedné větě ovšem znamená, že řešením úlohy 11 není pouze hodnota β = 248º, ale rovněž hodnota β = 112º.

Jiri Janecek řekl(a)...

Pane Botliku,

Cetl jsem krtkuv prispevek, I vasi reakci… Nemusite opakovat, co jsem uz nekolikrat cetl a pochopil.

Ptal jsem se, kolik je sin(alpha) toho cervene srafovaneho uhlu z obrazku. Jedno cislo…

Totez jinak - jak jednoznacne je definovana cast roviny (uhel), kdyz napisu alpha=112°.
Je to stejne jako "uhel ABC, kde B=[0,0], A=[ , ], C=[ , ]"?

Oldřich Botlík řekl(a)...

Pane Janečku,

když jste to četl a pochopil, tak proč se ptáte dál?


Hodnota sin α, kde α je úhel z obrázku, závisí na tom, jak se vám obrázek zobrazuje, případně jak se vám vytiskl. Já jsem obrázek připravoval tak, aby velikost úhlu α byla 112º. Budu to nadále předpokládat, i když se mi to určitě nepovedlo ideálně a další zkreslení vzniká na obrazovce, případně v tiskárně, jak jsem uvedl výše.

Pro hodnotu sin α platí vztah sin α = sin(112º) = –sin (248º) = 0,927183854566787. A obdobně platí cos α = cos (112º) = cos (248º) = –0,374606593415912.

Howg.

Oldřich Botlík řekl(a)...

(Tak jsem se soustředil na tu matematickou typografii, až mi uteklo písmenko.)

Howgh.

Jiri Janecek řekl(a)...

Protoze poprve jste odpovedel na neco jineho…
A rovnou jsem toho vyuzil a zeptal se ja na jeste neco jineho…

----

A neni ten sinus treba -0.92718...?

Jiri Janecek řekl(a)...

Tak pardon, beru zpět, v případě opačně orientovaného úhlu by měl být šrafovaný doplněk...

Okomentovat