20.5.19

Oldřich Botlík: Každý z obou správných výsledků úlohy 11 mohli maturanti napsat bez porozumění

Sám jsem v projektu Kalibro dlouhých 25 let ukazoval učitelům matematiky cesty, které dovedly jejich žáky k chybným výsledkům. Vím tedy, čeho všeho jsou žáci schopni, když se dostanou do úzkých: například vezmou nějaká dvě čísla vyskytující se v zadání, a aniž by čemukoli rozuměli, odečtou menší od většího a výsledek zapíšou do záznamového archu.

Nejprve několik slov k nejednoznačnosti zadání. Představme si na chvíli, že Cermat zadal maturantům úkol napsat, co je na následujícím obrázku.



Někteří maturanti napsali „dvě tváře“. Jiní napsali „váza“. Někteří možná dokonce napsali „dvě tváře a váza“.

Cermat viděl na obrázku jenom dvě tváře, a tak přidělil bod těm maturantům, kteří viděli totéž. Ostatním nic. Já jsem potom upozornil, že na obrázku je obojí. A že podle mého názoru by měli dostat bod také někteří další: ti maturanti, kteří napsali „dvě tváře a váza“, a rovněž maturanti, kteří napsali jen „váza“.

Analogie podle mého názoru docela pěkně popisuje, v čem byl zpočátku problém. To, co člověk při pozorování obrázku rozpozná nejdřív, například dvě tváře, se totiž v jeho mozku posílí. Zbytek obrázku ztratí vlastní smysl a stane se pouhým pozadím rozpoznaného objektu. Vrátit tomuto „pozadí“ jinou interpretaci bývá potom obtížné, někdo to dokonce ani nedokáže. To je důvodem, proč lidé optické klamy vymýšlejí a baví se jimi.

O úloze 11 maturitního testu z matematiky se diskutuje několik dní a zdá se mi, že většina lidí už tam vidí jak „dvě tváře“, tak „vázu“. Prostě uznali, že pokud chtěl Cermat vyloučit výsledek 112º, měl v zadání napsat „pro dva různě velké úhly“ – nikoli pouze „pro dva různé úhly“.

Nyní k tomu, jak mohli žáci dospět k výsledku 112º, případně k výsledku 248º. V diskusích se teď objevují argumenty, proč by měl být 1 bod přidán pouze těm žákům, kteří uvedli obě hodnoty, tedy 112º a 248º. Žáci, kteří odpověděli pouze 112º, prý podstatě úlohy nerozumějí. To může být pravda – byl jedinou hodnotou v zadání, která mohla „kandidovat“ na správnou odpověď, a někteří žáci v nesnázích tak opravdu postupují. Když nevědí, prostě si aspoň něco tipnou. Musím se ale zeptat, kde tito diskutující berou jistotu, že podstatě úlohy rozumějí všichni autoři odpovědi 248º, jejichž 1 bod nikdo nezpochybňuje.

Sám jsem v projektu Kalibro dlouhých 25 let ukazoval učitelům matematiky cesty, které dovedly jejich žáky k chybným výsledkům. Vím tedy, čeho všeho jsou žáci schopni, když se dostanou do úzkých: například vezmou nějaká dvě čísla vyskytující se v zadání, a aniž by čemukoli rozuměli, odečtou menší od většího a výsledek zapíšou do záznamového archu. V zadání úlohy 11 byla čísla 360 a 112, jejichž rozdíl 360 – 112 je roven hodnotě 248. Takhle „naslepo“ možná postupovalo řádově stejně žáků, jako bylo těch, kteří podobně „naslepo“ uvedli odpověď 112º. Poznalo by se to, kdyby zadání nepožadovalo rovnost cos(alfa)=cos(beta), nýbrž rovnost sin(alfa)=sin(beta). Rovnost sin(alfa)=sin(248º) totiž neplatí, ovšem žáci by navzdory tomu stejně uváděli hodnotu 248º jako výsledek. Vysvětlení je prosté: odečítání na jednotkové kružnici nerozumějí ani v případě funkce sinus (neboť princip je u sinu podobný jako u kosinu), a tak by i tentokrát postupovali „naslepo“.



Jenomže úloha s rovností sin(alfa)=sin(beta) by tyto žáky odhalila. K jejímu správnému výsledku 68º (druhý výsledek 112º zůstává správný i v ní) totiž cesta „naslepo“ 360 – 112 nevede. Úloha 11 tedy měla nejen nejednoznačné zadání, ale byla rovněž nevhodně konstruována. Umožnila snadno uspět žákům, kteří si neosvojili to, co nejspíš měla úloha ověřit: zda pochopili, jak se hodnoty kosinu odečítají na jednotkové kružnici.

Závěr: Z přísně matematického hlediska si zaslouží 1 bod pouze ti žáci, kteří v odpovědi uvedli obě hodnoty 112º a 248º. To by ovšem nejspíš byla katastrofa neodpovídající úrovni znalostí žáků. A zavinil by ji Cermat – nikoli maturanti. Kvůli dodržení zásady „Především neškodit“ je ale potom nutné udělit bod také všem žákům, kteří uvedli pouze jednu z obou těchto hodnot (a žádnou další). Jinak by vznikla další nespravedlnost. Úloha 11 totiž nepožadovala žádné zdůvodnění a ze samotného čísla není možné prokázat, že k němu určitý žák dospěl „naslepo“. Jak u výsledku 112º, tak u výsledku 248º ale zcela jistě existuje významná část žáků, kteří k němu „naslepo“ dospěli. Nechápou sice, jak se hodnoty funkce cos na jednotkové kružnici odečítají, ovšem Cermat připravil úlohu tak nešikovně, že tyto žáky nelze najít.

Jinak řečeno, úloha neověřila, co nejspíš ověřit měla. V posudku Nezávislé odborné komise MŠMT pro posouzení maturitního testu z matematiky se přesto dočteme: Všechny úlohy v didaktickém testu z matematiky v jarním zkušebním období 2019 i didaktický test jsou konstrukčně v pořádku. Všechny úlohy jsou formulovány jednoznačně, mají jednoznačně správná řešení uvedená v klíči správných řešení.

Vypadá to, že si z nás dělají legraci.

30 komentářů:

Charlie řekl(a)...

Pokud sleduji diskuzi k maturitám z M za posledních několik let, jímá mne hrůza, jak by vypadala školní maturita z matematiky v podání učitelů "testerů amatérů" na jednotlivých školách. Zároveň je to i důvod k zamyšlení, jak taková maturita probíhala v minulosti, měl-li žák 15 minut na potítku a 15 minut u tabule. Řekl bych, že současná argumentace je vlastně gól do vlastní sítě, nebo alespoň nahrávka na gól těm, kdo státní maturitu z M podporují. Jeden "chybný", nebo spíše polemický centrálně zadávaný příklad z mnoha, to je svým způsobem výhra.

V. řekl(a)...

Ona ta "stará" maturita totiž nebyla vytvářena "testéry amatéry", ale aprobovanými matematiky. Nedělal se test, ale zkoušelo se ústně a případně se psala písemná práce (nikoli test...)

Takže pokud by kdokoli - ať už u ústní nebo písemné zkoušky - upozornil, že zadání není jednoznačné, okamžitě by bylo zadání upřesněno nebo hodnocení upraveno. Nevím, proč se Cermat pořád bojí zvěřejnit, jaké odpovědi se u příkladu "objevily".

Oldřich Botlík řekl(a)...

ad Charlie
Myslím, že učitele matematiky silně podceňujete. Písemnou část zkoušky tvořilo dříve několik rozsáhlejších úloh, na dobrých školách byli žáci nuceni odůvodňovat své kroky. Nemyslím, že ústní část je/byla ideální, ale učitel používal tytéž úlohy roky (byť třeba v různých obměnách) a byl si dobře vědom toho, kudy se mysl maturanta může ubírat.

Současná podoba testů (přijímacích i maturitních) má dvě obrovské nevýhody.

Centrální zpracování vylučuje možnost, aby si žák a hodnotitel vyjasnili možná nedorozumění. Aby se výskyt nedorozumění co nejvíce omezil, je odpověď žáka redukována – až na dost triviální a jednoznačné případy – na zaškrtnutí možnosti A, B, …, případně na zapsání nějakého čísla. Neodůvodňuje se vůbec nic. Domnělá spravedlnost „bodování“ prováděného buď strojem, nebo hodnotiteli, kteří ovšem vlastně mohou po krátkém zácviku pracovat podle návodu, dostala přednost před pojetím zkoušky. Jinak řečeno, centrální zpracování je neštěstím nejen v češtině, ale i v matematice.

Když se zamyslíte nad tím, co vlastně pánové Fuchs a Kubát, členové obou schvalovacích komisí, od maturantů očekávali, bylo to tohle: „Měli jste vytušit, si vlastně vrchnost přeje, a splnit její přání předepsaným způsobem.“ Myslím, že kvůli podobným cílům se matematika nevyučuje.

Jinak bez výhrad souhlasím s tím, co napsal(a) V.

ad V.
Nevím, proč se Cermat pořád bojí zveřejnit, jaké odpovědi se u příkladu "objevily".

Myslím, že už to tuším. Cermat to totiž nejspíš vůbec neví, resp. nevěděl to, když zpřístupňoval výsledky školám a žákům. Má naskenovány záznamové archy, ale nejspíš neprovádí OCR ani v úlohách, kde by převod odpovědi na alfanumerické znaky měl smysl věcný i technický. Podle mého názoru si byli v Cermatu tak jisti jediným řešením 248, že hodnotitelé prostě dostali instrukci „Zapiš 1, pokud je výsledek 248, zapiš 0, pokud je výsledek jiný, zapiš X (nebo nějaký jiný kód), pokud je úloha bez odpovědi“. To by ovšem znamenalo, že když například E. Fuchs napsal „zadání nemohlo žáky uvést v omyl“, pak prostě plácal, protože nemohl mít informaci o tom, kolik žáků výsledek 112 uvedlo.

Odhaduji podle počtů přihlášených a podle minulých let, že maturitní test z matematiky psalo kolem 16 tisíc žáků. Osobně si myslím, že výsledek 112 mohl být součástí odpovědi u přibližně 1 tisíce žáků. Takových výsledků ale klidně mohlo být také třeba dvakrát tolik.

V minulém roce ministr rozhodl o opravě výsledků testu z češtiny, který psalo cca 62 tisíc žáků. Původně nesprávnou odpověď „čas růže přináší“ zvolilo asi 4300 maturantů.

Charlie řekl(a)...

Myslím, že učitele matematiky silně podceňujete. Písemnou část zkoušky tvořilo dříve několik rozsáhlejších úloh, na dobrých školách byli žáci nuceni odůvodňovat své kroky. Nemyslím, že ústní část je/byla ideální, ale učitel používal tytéž úlohy roky (byť třeba v různých obměnách) a byl si dobře vědom toho, kudy se mysl maturanta může ubírat.

Učitele matematiky nepodceňuji, jen se domnívám, že pokud většina absolvovala stejně zaměřenou PF jako já, tak se k tvorbě testů (myslím tím jakoukoli podobu zkoušení) dostala asi tak blízko, jako většina lidstva k Jižnímu pólu (P.S. Žena vyučuje M na střední škole, já mám vystudovanou F). To že dnes učí M i lidé, kteří mají maximálně DPS, je také realita.

Druhou stránkou věci je tlak vedení školy a zřizovatelů na "správnou" tvář školy vůči veřejnosti. Již nyní se musí psát minimálně různá zdůvodnění a opatření vzhledem k neuspokojivým výsledkům žáků u MZ. Objektivní skutečnosti jako je "útěk" maturantů k M, protože je tvořena jen jedním testem nebo naprosté podcenění přípravy, slyšet nechtějí.

Já jsem maturoval v roce 1989. MZ byla vyhlašována centrálně a tvořily jí 4 úlohy na 4 hodiny. Pamatuji si, že jednu z nich tvořil např. výkres řezu na tělese (šestiboký jehlan). Nejsem si jistý, jak by dopadli dnešní maturanti. Podotýkám, že žádné speciální kurzy ani doučování se v té době příliš nenosilo. Co jsme uměli bylo dáno jen a pouze klasickou výukou.

Používání stejných (nebo jen typově stejných) úloh jednotlivými učiteli u ústních maturit také není při 30 okruzích příliš vhodné. Stačí si pak spočítat 30 příkladů a mohu jít k maturitě. Pozn. jistě že zjednodušuji, ale zeptejte se dnešních žáků na "Bělouna" a snad pochopíte můj mírně pesimistický postoj.

Josef Soukal řekl(a)...

"Sám jsem v projektu Kalibro dlouhých 25 let ukazoval učitelům matematiky cesty, které dovedly jejich žáky k chybným výsledkům."

A přesto se Kalibro nevyvarovalo triviálních testových chyb. A ještě si je vyvěsilo jako ukázkové. Viz Ukázkově vadná testová úloha,
https://www.ascestinaru.cz/josef-soukal-ukazkove-vadna-testova-uloha/

Oldřich Botlík řekl(a)...

ad Charlie
Rozumím a můžeme o tom diskutovat, ale raději jinde a jindy. Nerad bych, aby diskuse odbíhala od hlavního tématu, kterým je maturitní úloha 11.

Josef Soukal řekl(a)...

Nejsem matematik, ale podle mých kolegů této aprobace pozitiva testu jednoznačně převažují. Nevýhody ústní zkoušky mj. právě v bezprostřední interakci, v nepřesnosti vyjadřování, v možné - byť nechtěné - nápovědě, v tom, že není čas promýšlet nejvhodnější reakci na bezprostřední kroky žáka. Je pravděpodobné, že na nevhodný postup učitele nikdo neupozorní.
-
„Měli jste vytušit, si vlastně vrchnost přeje, a splnit její přání předepsaným způsobem.“
Podle toho, co jsem od žáků i učitelů slyšel, je to úplně opačně - přemýšlet o řešení O. Botlíka nikoho nenapadlo, intence příkladu je podle nich jasná.
-
Verdikt o úloze nakonec mohou vyřknout jen matematici. Ti, kdo se neangažovali pro Cermat, ale ani proti němu.

Oldřich Botlík řekl(a)...

Zrovna dnes mi jeden kolega poslal ukázku takového uvažování maturanta.

1. Dva různé úhly... aha, tak co třeba rovnoramenný trojúhelník ABC. (Vlevo u vrcholu A je úhel alfa, vpravo u vrcholu B úhel beta.) Kdyby se později v textu ukázalo, že si to musím představit jinak, tak si udělám jiný náčrtek. Mám dva různé úhly, co tu máme dál?

2. Jo, takže alfa má velikost 112°. To si to představuju blbě, protože v tom mém rovnoramenném trojúhelníku jsou alfa a beta ostré úhly. Takže jinak. Bude to rovnoramenný lichoběžník, alfa a beta jsou oba 112°. Možná o tom úhlu beta dál v textu něco řeknou a budu si to zase muset vygumovat a překreslit, uvidíme.

3. Nojo, už je to tady. Píšou, že beta musí být od 0° do 360°. Ale to ten můj beta vlastně je, takže zatím dobrý.

4. Jo a ještě má platit, že cos alfa je cos beta. No tak to samosebou platí, když jsou ty úhly stejný.

5. Ptaj se, kolik je beta. Beta je stejný jako alfa, to tady vidím, takže píšu 112°. To je nějaký chyták nebo co? No ale všechny podmínky mi to splnilo, jsem si jistý, že to vyhovuje zadání. Nemusím nic počítat, takže ani neudělám chybu. Nemám čas to dál zkoumat, spěchám na další úlohu.

Uf. Tak co tu máme. Reálný čísla, rovnice. Dobře...

Zdeněk Sotolář řekl(a)...

Nevýhody ústní zkoušky mj. právě v bezprostřední interakci,

Vadilo ti to i na fakultě?

Josef Soukal řekl(a)...

Pokud je to kolega stejně objektivní jako pan Botlík, napsal si to pro své účely dobře.

Josef Soukal řekl(a)...

Psal-li jsem o nevýhodách ústní zkoušky, polemizoval jsem s myšlenkou, že ústní může test plně nahradit. Lepší je obojí.

V. řekl(a)...

Ti, kdo se neangažovali pro Cermat, ale ani proti němu.


OK, ja jsem proti Cermatu zaujaty, protoze technicke zabezpeceni skenovani a vubec pristup Cermatu v prvnich cca 6 letech novych maturit byl katastrofalni. Cest vyjimkam. "Lektor" pro nas kraj ing. Kiml byl (asi stale je, ale konecne jsem se v praci Cermatu zbavil...) vynikajici, vzdy vse potrebne vedel, vzdy poradil.

Takze posledni pripominka: vychazim-li z predpokladu, ze u maturity (jako ostatne u kazde zkousky) by mel kantor zjistit, co zak umi a ne naopak, tak pripadna napoveda - nazval bych to upresneni zadani, ci dotaz "proc to resite zrovna takto?" je podle me zcela v poradku.

Mozna i proto me i po 30 letech kantorina stale bavi...

A kdyz po zkousce v 1. rocniku na matfyzu prijde student(ka) a rekne DEKUJU, tak se domnivam, ze nemam duvod sve metody vyuky a zkouseni menit.

Oldřich Botlík řekl(a)...

ad V.
u maturity (jako ostatne u kazde zkousky) by mel kantor zjistit, co zak umi a ne naopak

Podle mého názoru je právě TOHLE zcela klíčové. A to i pro postoj k testům státní maturity. Zaškrtávací úlohy ani tzv. úlohy částečně otevřené (k nimž Cermat počítá rovněž úlohu 11) to zjistit nemůžou. Ukázal jsem, proč z toho, že žák uvedl správnou odpověď 248º, ještě nevyplývá, že tomu rozumí: chybí nám informace o tom, jak k odpovědi dospěl.

Ovšem z nesprávných odpovědí (třeba 68º) snad lze usoudit, že žák tomu nerozumí. Proto se celé tohle státní testování zaměřuje na to, co žák neumí – a ne naopak.

Zdeněk Sotolář řekl(a)...

Lepší je obojí.

Rozumím.

krtek řekl(a)...

Porad nerozumím tomu, že vzhledem k zadání, které nezmiňuje ani trojúhelník, ani lichobeznik, lze uvažovat dva různě umístěné, ale stejně velké úhly.

Oldřich Botlík řekl(a)...

Porad nerozumím tomu, že vzhledem k zadání, které nezmiňuje ani trojúhelník, ani lichobeznik, lze uvažovat dva různě umístěné, ale stejně velké úhly.

Já zase nerozumím tomu, proč tomu jako učitel matematiky nerozumíte.

Žák má být přece veden v matematice také k tomu, aby přicházel s vlastními reprezentacemi toho, o čem se učí, a hledal v nich samostatně příklady a protipříklady.

Navíc nás Martin Mikuláš zásluhou Josefa Soukala všechny poučil, že podle Terminologické komise pro školskou matematiku JČMF má pojem "úhel" tři různé významy a význam "objekt" k nim patří. Takže žák má plné právo představit si "dva různé úhly" jako dva různé objekty, jejichž velikosti jsou stejné.

Když si představíte oba vnitřní úhly při základně rovnoramenného trojúhelníku, tak podle vás nejde o "dva různé úhly, jejichž velikosti jsou stejné"? A o co tedy podle vás jde?

Vladimír Stanzel řekl(a)...

Když už se zde nakousla kvalita testů - co si myslíte o této otázce, určené pro žáky 5. tříd ZŚ:
"Podnikatel chce zvýšit prodejnost svého výrobku. Jaké opatření k tomu může použít, ANIŽ BY RISKOVAL, že na něm nakonec prodělá? (prodělá = náklady budou nakonec vyšší než zvýšení zisku, které opatření přinese; posuzuj každé opatření zvlášť; zapiš do rámečku vpravo všech opatření, která jsou bez rizika)
Jsou formulace adekvátní mentálním schopnostem páťáků?

krtek řekl(a)...

Žák má právo předkládat i nesmysly, v tom mu nesmí nikdo bránit!
Vyjděte ze zadání: "Pro dva různé úhly alfa = 112°, beta od nuly do 360° platí cos alfa = cos beta. Určete ve stupních velikost úhlu beta."
Kde je v zadání trojúhelník nebo lichoběžník? Proč bych si tedy měl představovat dva úhly v rovnoramenném trojúhelníku nebo lichoběžníku? Připadá mi to jako zadání: pro která dva různé stavy účtu x=15, y je celé číslo platí, že x na druhou je y na druhou. A Vy začnete argumentovat, že y je stav konta jiného člověka, takže i varianta x=y je správně.

Oldřich Botlík řekl(a)...

ad krtek
pro které dva různé stavy účtu x=15, y je celé číslo platí, že x na druhou je y na druhou.

Nezlobte se, ale vám je neuvěřitelně obtížné cokoli vysvětlovat. Vaše metafora přece neodpovídá úloze 11!

Odpovídající metafora by byla pro které dva různé účty x=15, y je celé číslo platí, že x na druhou je y na druhou.

V odpovídající metafoře ale není stav konta jiného člověka nic, co by neodpovídalo zadání.

Tím, že jste tam neoprávněně přidal slovo "stav", vyrobil jste z účtu (který si můžete představovat třeba jako souhrn smlouvy o vedení účtu, záznamu veškerých pohybů a aktuálního zůstatku) jen číslo - jeho aktuální stav.

Jenomže Cermat na začátek zadání slovo "velikost" (="stav") NEPŘIDAL! To znamená, že z úhlu jako části roviny číslo NEVYROBIL!

UUUžžž??? Nebo pořád nic...?

Nicka Pytlik řekl(a)...

A kdy už se konečně vyjde najevo, kolik maturantů tato úloha odsoudila k pobytu na pracovním úřadu? UUUžžž??? Nebo pořád nic...?

krtek řekl(a)...

Pořád nic. Ale už jsme se přiblížili - Vy říkáte, že když není kontext zmíněn, mohu si domyslet, co chci, a musí to být bráno vážně, pokud to není úplně mimo. Zkrátka - podle Vás musí být zadání naprosto jednoznačné a musí vyloučit jakoukoliv fantazii řešitele anebo musí připustit jakékoliv řešení, které není se zadáním v příkrém rozporu. Rozumím tomu, ale připadá mi to hnidopišské.

Nicka Pytlik řekl(a)...

Pytliky napadlo, jestli vzdálenosti z Prahy do Brna a z Brna do Prahy, obě po dálnici D1, lze považovat za různé.
Pytlici také hledali synonyma slova 'různé'. To je slov, panečku! Radost počíst:
pestrý, rozmanitý, různorodý, rozličný, odlišný, mnohotvárný, barevný, pestrobarevný, mnohonásobný, mnohočetný, nesourodý, neucelený, neslučitelný, odporující...

Anonymni z 21:30 řekl(a)...

Jistě, jsou různé. Dokonce i vzdálenost Brno Praha a zpět v témže jízdním pruhu je různá!

Jenom si to zkuste projet v jednom pruhu tam i zpět a uvidíte, že v tom opačném směru je vzdálenost nekonečná!

Oldřich Botlík řekl(a)...

ad krtek

Upřímně vítám, že "už jsme se přiblížili". Opravdu. Vy totiž SKVĚLE demonstrujete, o čem jsem psal. Na začátku jste viděl jen dvě tváře, ale už začínáte vnímat i vázu.

Teď bych se s dovolením ještě jednou vrátil k té vaší metafoře. Je užitečná například tím, že je vaše. Podobně jako žák si hledáte vlastní "model" úlohy 11, abyste porozuměl mým výhradám. Upřímně vám za to děkuji, fakt. Vaše metafora ale nesedí ještě z jednoho důvodu. Vyjdu nyní z té její (částečně opravené) verze, ke které jsme zatím dospěli.

Pro které dva různé účty x=15, y je celé číslo platí, že x na druhou je y na druhou?

Přesná "účtová" analogie úlohy 11 by ale vypadala ještě trochu jinak:

Pro dva různé účty se stavy x=15, y je celé číslo, platí, že x^2 = y^2.
Určete v korunách stav y.


Nemůžu si pomoct, ale pak má úloha dvě různá řešení: y=15 a y=–15, neboť hledáme řešení kvadratické rovnice y^2=225. A protože zadání připouští možnost,
– že účty jsou vedeny u dvou různých bank (jsou různé), je hodnota y=15 správným řešením
– že jde o kontokorentní účet (lze vybrat víc, než je zůstatek), je hodnota y=–15 správným řešením.

krtek řekl(a)...
Tento komentář byl odstraněn autorem.
krtek řekl(a)...

Jak byste posoudil odpověď na úlohu:
Úloha: V trojúhelníku ABC je dán úhel alfa=63°. V trojúhelníku DEF je epsilon=90° a fí=27°. Je úhel delta stejný jako úhel alfa?
Odpověď: Úhel delta je v jiném trojúhelníku, proto nemůže být stejný s úhlem alfa.
.
.
.
.
(Chybného zadání jsem si vědom.)

krtek řekl(a)...

Ale to zase Vy motáte stav a účet. V zadání je použito jedno slovo a to úhel (které může mít význam část roviny a velikost úhlu). A o tom to celé je - vyříkáte, že v kontextu úlohy je nutno brát i první význam a za různé úhly považovat různé části roviny. Já říkám, že v úloze se o umístění úhlů nemluví, tudíž v kontextu zadání jsou různé úhly různé velikosti.
Matematika pojem různé úhly používá - podle mne - pouze v kontextu velikosti. Jinak jde o úhly shodné nebo neshodné.

Oldřich Botlík řekl(a)...

Krtku, s účtem a stavem jste přece přišel vy. Já jsem vám jen na samém začátku vysvětlil, že "stav účtu" je číslo, zatímco účet je kdeco. Podobně, jako "velikost úhlu" je číslo, zatímco úhel je kdeco (řekněme část roviny, velikost v příslušných jednotkách a orientace)

Zadání naprosto jasně říkalo, že úhly alfa a beta jsou různé. Na tom se snad shodneme. Matematicky je naprosto jasné, že když jsou dva úhly různé, můžou se lišit umístěním v rovině NEBO velikostí NEBO orientací. To je podmínka nutná i postačující. Orientaci stanovil interval v zadání - tou se tedy lišit nemůžou. Jedno řešení, beta=248º, splňuje zadání tím, že se od alfa liší velikostí. A druhé, řešení beta=112º, splňuje zadání tím, že se liší umístěním v rovině. Protože "úhel" není "velikost úhlu". Prý je dobré prostudovat si publikaci Názvy a značky školské matematiky, kterou zpracovala Česká terminologická komise pro matematiku Jednoty čs. matematiků a fyziků a vědeckého kolegia matematiky při ČSAV. Třeba vám to nějak pomůže.

Zadání úlohy 11 znělo:

Pro dva různé úhly alfa = 112º, beta z uzavřeného intervalu <0º, 360º> platí cos(alfa) = cos(beta). Určete ve stupních velikost úhlu beta.

Vaše analogie - nikoli moje, já jsem ji jenom upřesnil - zněla:

Pro dva různé účty se stavy x=15, y je celé číslo, platí, že x^2 = y^2. Určete v korunách stav y.

Už jsem vám dříve v této diskusi vysvětlil, že "účet" je něco jiného než "stav účtu", stejně jako "úhel" je něco jiného než "velikost úhlu". Ta analogie "úhel" <--> "účet" a "velikost úhlu" <--> "stav účtu" je ale velmi dobrá.

Nemám vám nijak za zlé, že vám to nedochází - proto jsem ostatně ve svém článku psal o dvou tvářích a váze. Už ale nemám sílu ani čas vám to vysvětlovat dál. Omlouvám se.

Oldřich Botlík řekl(a)...

ad krtek 11:46

Omlouvám se – nezaregistroval jsem vaši otázku k trojúhelníkům. Zde je moje odpověď.

1. Zásadní význam má, zda jde o úlohu řešenou třeba u tabule (tj. s možností dialogu mezi žákem a učitelem), nebo zda na ni mám pohlížet jako na úlohu třeba do jednotného přijímacího testu. Doufám, že něco tak hrozného by Cermat do přijímacího testu nedal.

2. Zrovna ta odpověď, na kterou se ptáte, je divná, ale asi z jiného důvodu, než předpokládáte. Zadání nevyloučilo, že ABC a DEF jsou stejné trojúhelníky (ve smyslu A≡D, B≡E, C≡F). Žák to ale předpokládá, což by neměl. Myslím si, že dovednost předpokládat jenom to, co zcela jistě platí, je pro správné matematické uvažování klíčová. To je také důvod, proč mi vadí „oficiální“ správné řešení úlohy 11. Protože Cermat vlastně vede žáky k tomu, aby na tuto dovednost rezignovali a přidali si do zadání i to, co v něm objektivně chybí.

3. Správná odpověď (ale jen ve škole, kde žák a učitel můžou vysvětlovat, jak to myslí) závisí na kontextu. Pokud si vyjasní, že jde o velikosti úhlů, pak je správnou odpovědí ANO. Pokud si vyjasní, že jde o polohu a současně o velikosti úhlů, pak je – při tomto zadání – správnou odpovědí NELZE ROZHODNOUT. Pokud byste nějakou formou do zadání přidal, že ty dva trojúhelníky se v rovině nekryjí, pak je správnou odpovědí NE.

4. Zastánci správnosti úlohy 11 v maturitním testu bohužel nevnímají, že výkladu termínu „úhel“ ve smyslu „část roviny“ napomáhá položená otázka:
Určete ve stupních velikost úhlu beta.
Jenomže v úloze se nikde jinde o velikosti úhlu explicitně nemluví. Důsledný autor úlohy by se měl ptát takto:
Určete ve stupních úhel beta.

5. Neobratnost zadání úlohy 11 je až neuvěřitelná. V článku, pod nímž diskutujeme, vysvětluji, proč v zadání s hodnotou 112º neměl být kosinus, ale sinus. Netvrdím, že bych to zvládl na první pokus, ale po pilotáži úlohy (Jak důkladně ji vlastně Cermat provádí?) bych úlohu 11 zadal takto (ponechávám tam kvůli návaznosti na původní zadání označení β):

Pro úhel β platí: β ≠ 112º, β Є <0º, 360º>, sin(β)=sin(112º). Určete ve stupních úhel β.

Proti takovému zadání bych nic neměl. Úloha má jediné řešení β = 68º.

Se shodností, o které píšete na konci komentáře v 11:56, je to podle mě složitější. Myslím si, že i dva shodné trojúhelníky můžou být různé. Třeba jen tím, že druhý vznikl posunutím prvního o nenulový vektor. Shodnost lze definovat různě, například takto: Dva geometrické útvary v rovině jsou shodné, pokud existuje izometrické zobrazení roviny na sebe, při kterém první útvar přechází na ten druhý. Posunutí, otočení a osová souměrnost jsou shodná zobrazení, ale obraz „vašeho“ trojúhelníku s úhly 63, 90 a 27 v osové souměrnosti se nedá složením posunutí a otočení přemístit na vzor tak, aby se kryly. Takže shodnost bych sem s dovolením už vůbec netahal…

Oldřich Botlík řekl(a)...

Ještě k té rovnosti a shodnosti.

Úhel je definován vrcholem a dvojicí polopřímek, které z vrcholu vycházejí. Aby bylo jasné, o které z obou výsečí je řeč, můžeme se dohodnout, že to je ta, k níž polopřímky přidáme. Úhel je tedy uzavřená množina. Vezměme nyní úhel definovaný počátkem kartézské souřadné soustavy (vrchol), kladnou částí osy x a zápornou částí osy x. Velikost tohoto úhlu je 180°. Když tento úhel posuneme doprava o 1, bude ho tvořit tatáž množina bodů jako původní úhel. NEPŮJDE ale o stejné úhly, protože nebudou mít ani stejné vrcholy, ani stejné polopřímky, které je svírají.

Problém úlohy 11 je, že plete dohromady objekt a jeho velikost (číslo). Běžně ale rozlišujeme účet od zůstatku na něm, košili od její velikosti, člověka od jeho stáří, bochník chleba od jeho ceny, …

A matematici by si na tom měli dát zvlášť záležet.

Okomentovat