5.5.18

Dalibor Martišek: Pokus o uspokojení Martina Veselovského

Redaktor Veselovský besedoval o tzv. metodě Hejného: 3. února 2015 s Prof. Hejným a 2. května 2018 s Prof. Dlabem. Obou se dotázal, jak správně učit výpočet povrchu koule. Ani jedna odpověď ho neuspokojila. Já bych se ho uspokojit pokusil :-)

O besedě s Prof. Hejným jsem již psal, celá beseda s Prof. Dlabem k dispozici
zde.

Výklad Prof. Hejného, jak s dětmi dospět ke vzorečku pro povrch koule - pro úplnost přidávám video, které jsem vkládal už minule



- mi připomínal komické kabaretní vystoupení. Trvalo asi sedm minut a porozumět mu mohl (zcela v rozporu s tím, co Prof. Hejný hlásá) pouze ten, kdo již danou problematiku perfektně ovládá. Kdo nejenže už "hledaný vzoreček" zná, ale kdo ví i to, jak k němu kdysi přišel italský renesanční matematik Bonaventura Cavalieri. Jen někdo takový totiž mohl ve zcela zmateném vystoupení vystopovat snahu o popis právě Cavalieriho myšlenek.

Prof. Dlab byl požádán, aby nastínil, jak by učil "metodu výpočtu povrchu koule" na základní škole. Bylo to cca tři minuty před koncem besedy. Možná proto byl stručný: Metodu výpočtu povrchu koule by na základní škole neučil, protože se to na této úrovni smysluplně učit nedá. Omezil by se na vzoreček.

Jak už jsem psal ve výše uvedeném článku, je podle mého názoru všechno otázka míry (a i když momentálně píšu o povrchu, nemyslím teď míru jako matematický terminus technicus). Řada nápadů a příkladů, které prezentuje prof. Hejný, jsou nápady a příklady dobré. V jeho podání však mají dvě zásadní vady.

Za prvé to nejsou nápady jeho. Například vztah mezi délkou kružnice a jejím poloměrem resp. průměrem pomocí provázku zjišťovali už staří Egypťané a ve školní výuce se tento "řemeslný způsob" na základní škole používal od nepaměti. Za druhé je třeba u každého podobného nápadu "znát míru" - přesně vědět nejen to, kdy s ním začít, ale i to, kdy ho opustit, a rovněž to, zda vůbec stojí za to s ním začínat.

"Přivádění dětí k povrchu koule" začal Prof. Hejný květináči, pokličkami a provázkem - OK. To je jednoduše realizovatelné a jak už jsem psal, docela se to používá. Pak se ale pustil do Cavalieriho, což by asi žádný dobrý učitel v jeho situaci neudělal. Dobrý učitel by si totiž okamžitě uvědomil, že bez modelů nebo minimálně tužky a papíru to nemá šanci panu redaktorovi vysvětlit.

Takže pane redaktore, pokud bych vás chtěl jen tak od stolu, nevybaven ani tou tužkou, mocí mermo "navést na to, jak spočítat povrch koule", udělal bych to asi takto:

Dobrá - pomocí květináčů, pokliček a provázků jsme "objevili" vzoreček pro délku kružnice. Teď si, milý pane redaktore, se svými spolužáky do příští hodiny každý kromě provázku seženete a přinesete glóbus. Čím víc různých velikostí se v hodině sejde, tím lépe. Změřte provázkem délku rovníku a kromě obratníků také všech ostatních vyznačených rovnoběžek. Poledníky mají (na rozdíl od skutečné Země) stejnou délku jako rovník. Uvažujme jednu "buňku" této geografické sítě. Ta má přibližně tvar lichoběžníku ("polární buňky" jsou pak přibližně trojúhelník). Rozměry těchto "lichoběžníků" a "trojúhelníků" můžeme spočítat z délek příslušných kružnic. Povrch koule pak bude přibližně roven součtu obsahů těchto útvarů.

Každý spočítá povrch svého glóbu a určí jeho poloměr (jako poloměr rovníku nebo poledníku). A teď - analogicky jako u kružnice - k různým poloměrům máme různé hodnoty povrchu a hledáme závislost. Uvědomíme-li si že ve vzorečku pro délku kružnice figuruje číslo pí, které by se mohlo uplatnit i u povrchu koule, asi bychom na správný vzoreček přišli.

Jste spokojen, pane redaktore? Je to pochopitelnější než malilinkaté kousky dortu a "krychlové cihly" pana profesora Hejného?

Jenže pozor - to je zatím jen nápad. A kolem něho se okamžitě vyrojí výše uvedené otázky: Stojí to za to? A v tomto případě dokonce: Je to vůbec realizovatelné? Při představě, jak se děti snaží položit provázek na takovou sedmdesátou osmdesátou rovnoběžku, i jako rozený optimista dost pochybuji.

Ale ani kdybych nepochyboval o řemeslné realizovatelnosti, musel bych se sám sebe ptát: Lepení provázků na glóbus - je to matematika? Neděláš z hodin matematiky jenom kroužek dovedných rukou? Jak jsem psal v https://martisek.blog.idnes.cz/blog.aspx?c=656513 matematika začíná odhozením konkrétních předmětů. Zahoďme tedy glóbus a špagáty.

Máme kouli, poloměr r. Rovník, poledník. Co to je? Je v tom nějaký rozdíl?... Rovnoběžka - co to je? Délka x-té rovnoběžky 2*pi*r*cos x. Proč? Rozměry "buňky" - je nutné je počítat? Nejde součet obsahů "buněk" zjistit nějak rafinovaněji? V osmé třídě základní školy zvládnutelné. Ale pro jednu kouli bude nutno spočítat délku docela velkého počtu rovnoběžek, jinak to moc přesvědčivé nebude. Jak dlouho bude výpočet trvat? Hodinu? Dvě? Celý den? Snad dokonce týden? Má to smysl? Tomu, kdo říká, že ne, vskutku těžko oponovat...

Nerad se vzdávám, a tak mě jako programátora napadl těžký kalibr: numerickou dřinu nechejme počítači. Milý stroji, tady máš poloměr, tady počet rovnoběžek - spočítej povrch! Během několika minut odhad povrchu spousty různých koulí z různě hustých sítí. Prográmek s několika jednoduchými cykly. Jenže aby to mělo smysl, musí to (s větší či menší pomocí) naprogramovat žák. Nechcete suplovat informatiku, i požádáte kolegu, aby to udělal v informatice. Nejspíš vás s tím pošle do háje.

Ale i kdyby neposlal - opravdu to učíš správně? Na kouli přece žádné lichoběžníky ani trojúhelníky nejsou. Na válcové ploše by se něco takového asi sneslo, tu můžeš "rozmotat" do roviny. Kulová plocha rozvinutelná není... Jak dítě přesvědčíš, že to, co počítá, je skutečně hledané číslo (s nějakou přijatelnou nepřesností)? Ví něco o posloupnostech, limitách, konvergenci? Co když si všimne: ten trojúhelník má dva pravé úhly - jak je to možné? Co mu na to řekneš, pane učiteli? Zvlášť když matematiku "moc neumíš" a sám to nevíš...

A chcete-li další hřebíček do rakve tohoto postupu, stačí se vrátit na začátek - jak víme, že délka kružnice je 2*pi*r? Celé naše předchozí úsilí stojí na špagátu omotaného kolem pokličky. A pokud chceme něco lepšího, skončíme už tady. Zase u aproximací, posloupností, limit a konvergence.

Aby toho nebylo málo, zeptám se pana redaktora: chcete po mně vysvětlení výpočtu povrchu koule? Fajn - a víte vůbec, co chcete? Víte, co je to povrch? Garantuji vám, že ne. Víte, co je to koule? Vsadím svoji hlavu, že nevíte. Co je to přímka? Bod? Nejlepší mozky této planety to nevěděly několik tisíc let. Možná, že ani dnes to ještě nevíme. Jenom ještě nevíme, že to nevíme.

Abych odpověděl vaši otázku zcela korektně podle toho, co dnes matematikové vědí, musel bych napsat několik set (možná několik tisíc) stran speciálního matematického textu, který byste (při vší úctě) asi nepochopil, a já, upřímně řečeno, bych to nejspíš ani nezvládl.

Mohlo by se zdát, že matematikové dělají ze všeho zbytečnou vědu. Jenže kdyby ji nedělali, mohlo by se kdykoliv ukázat, že celá mohutná matematika stojí na tenké muří nožce, kterou stačí lehce podrazit a celá stavba se zhroutí. V minulosti už skutečně několikrát vyšlo najevo, že matematika, která pohání celou naši civilizaci, stojí na jediné rachitické nožičce vězící v "provázku omotaném kolem květináče". Stačilo jemně zatáhnout a byl by na světě totální matematický krach. Kdyby nastal dnes, přišli bychom nejen o "jazyk přírody", ale o jazyk veškerého lidského pokroku.

Ano, matematika je těžká. A učit matematiku je ještě těžší. Učitelé matematiky totiž musí matematiku přizpůsobit psychologii různě starých dětí, ale tak, aby tyto děti mohly jednou pokračovat tam, kde my skončíme. A to je zatraceně těžká věc. Systém vědecké matematiky musí být přetvořen v systém didaktický. Systém, který musí i po nutném zjednodušení obsahovat prakticky všechno, co matematika samotná: motivaci - to, co hodlám dělat, bude nějak užitečné, hledání a vyslovování hypotéz, důkaz, že je hypotéza správná (pak se stane matematickou větou) a aplikaci, která mě přesvědčí o tom, že podle toho, co jsem vymyslel, opravdu někde něco funguje. Shodnout se na tom, co z toho a do jaké hloubky v konkrétním věku učit, je daleko těžší, než se odborně shodnout na řešení nějakého ryze matematického problému. Obsah výuky by proto měl být výsledkem konsensu širokého okruhu matematiků, zkušených učitelů a dětských psychologů. Kdysi tomu tak bylo.

Shodnout se na tom, jak konkrétně co učit, je nemožné. Odpověď totiž závisí na tom, jakou třídu mám před sebou, a na tom, jaký jsem učitel. Nás teorie vyučování kdysi vybavila znalostí bohaté sady obecně platných vyučovacích metod a zásad. Dovedu si jen těžko představit, že by někdo někdy objevil nějakou takovou metodu nebo zásadu další, dosud neznámou. Ale jak a kdy kterou metodu a zásadu konkrétně uplatnit, záleží jen a jen na učiteli, na jeho schopnostech a na jeho pedagogickém umění.Takže vás, pane redaktore, asi zklamu. Na otázku, jak správně učit to či ono, se takto obecně podle mého názoru odpovědět nedá.

Na něco lze ovšem odpovědět docela jasně. Ignorovat matematický systém, vybrat si z té spousty zásad a metod vždy jen tu jednu jedinou, myslet si, že s ní vystačím vždy a všude, a dokonce to nazývat metodou novou a převratnou, to je zcela určitě naprosto špatně.


Převzato z autorova blogu na iDNES.cz

2 komentáře:

Ygrain řekl(a)...

" Ignorovat matematický systém, vybrat si z té spousty zásad a metod vždy jen tu jednu jedinou, myslet si, že s ní vystačím vždy a všude, a dokonce to nazývat metodou novou a převratnou, to je zcela určitě naprosto špatně."

Nejen matematický...

Zdeněk Sotolář řekl(a)...

V každém případě zajímavý titulek...


Okomentovat